Цифры которые делятся на 5. Признаки делимости, или что не поделили числа

Признаки делимости

Содержание

1. Что такое делимость?
2. Признаки делимости
3. На 2,4,8
4. На 3 и 9
5. На 5
6. На 6
7. На 7
8. На 10
9. На 11
10. Что мы узнали?

Бонус

• Тест по теме

Что такое делимость?

Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.

Признаки делимости

Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.

На 2,4,8

Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.

• Число делится на 2 только если является четным.
• Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
• Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8

На 3 и 9

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.

То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7

На 10

Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

На 11

Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.

Признак делимости на 5: примеры, доказательство

Продолжаем цикл статей на тему признака делимости и здесь остановимся на признаке делимости на 5 : сформулируем признак, приведем его доказательство, а также разберем характерные примеры, которые встречаются в различных заданиях на вступительных испытаниях.

Признак делимости на 5 , примеры

Формулируется признак делимости на пять очень просто: число делится на пять в том случае, если запись этого числа справа содержит ноль или пять. Если запись целого числа справа содержит любую другую цифру, то число на пять без остатка не делится.

Благодаря этому признаку мы можем определить возможность деления на 5 до начала вычислений, визуально.

По свойству делимости на 5 делится 0 , так как 0 делится на любое целое число и дает в результате 0 . Если говорить об однозначных натуральных числах, то из них на 5 без остатка делится только 5 . Остальные числа от 1 до 9 на 5 без остатка не делятся.

Какие из чисел 74 , − 900 , 10 000 , − 799 431 , 355 , − 5 делятся на 5 ?

Решение

Из всех приведенных выше чисел 0 или 5 в записи справа содержат только числа – 900 , 10000 , 355 и – 5 . Эти числа делятся на 5 . Остальные числа на 5 без остатка не делятся.

Ответ: − 900 , 10 000 , 355 и – 5 делятся на 5 .

Доказательство признака делимости на 5

Приведем теорему и проведем ее доказательства.

Необходимым и достаточным основанием для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 5 , является наличие в записи числа a справа цифр 0 или 5 .

Для начала обратимся к доказательству вспомогательного утверждения, согласно которому произведение a 1 · 10 , где a 1 – целое число, делится на 5 .

Основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать следующее:
если целое число a делится на целое число b , то произведение m · a , где m – любое целое число, делится на b . Применив это свойство к описанной ситуации, получаем: так как число 10 делится на 5 , то и произведение a 1 · 10 тоже делится на 5 .

Теперь мы готовы перейти к доказательству теоремы.

Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .

Примером записи может быть: 54 327 = 5 432 · 10 + 7 .

Теперь вспомним свойства делимости. В частности, вот это: если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b . Это свойство понадобится нам для доказательства теоремы далее.

Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.

Другие случаи делимости на 5

Рассмотрим для начала примеры, решение которых проще всего получить с помощью признака делимости на 5 .

Делится ли на 5 значение выражения 10 2 · n − 5 при некотором натуральном n ?

Решение

Для того, чтобы дать ответ на поставленный вопрос, подставим разные значения n в исходное выражение. Получаем: n = 1 имеем 10 2 · 1 − 5 = 95 , при n = 2 – 10 2 · 2 − 5 = 9 995 , при n = 3 – 102 · 3 − 5 = 999 995 , … . Получается, что независимо от значения n мы получаем запись, которая справа содержит цифру 5 . Согласно признаку делимости на пять можно утверждать, что выражение 10 2 · n − 5 делится на 5 при любом натуральном n .

Ответ: Да.

Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .

Докажите, что 6 n + 10 n + 14 делится на 5 при любом натуральном n .

Решение

Воспользуемся алгоритмом применения метода математической индукции. Начнем с проверки того, делится ли значение выражения 6 n + 10 n + 14 на 5 при n = 1 . Получаем: 6 1 + 10 · 1 + 14 = 30 . Число 30 содержит на конце записи цифру 0 , а это значит, что оно делится на 5 без остатка.

Теперь предположим, что значение выражения 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при значении n = k .

Фактически, нам нужно установить, что значение выражения 6 k + 10 k + 14 делится на 5 .

Докажем, что 6 n + 10 n + 14 при n = k + 1 делится на 5 .

6 k + 1 + 10 · ( k + 1 ) + 14 = = 6 · 6 k + 10 k + 24 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 50 k – 60 = = 6 · ( 6 k + 10 k + 14 ) – 5 · ( 10 k + 12 )

Согласно свойству делимости, вся разность делится на 5 , так как выражение 6 · 6 k + 10 k + 14 делится на 5 и выражение, содержащее 5 в качестве множителя, 5 · 10 k + 12 также делится на 5 .

Ответ: 6 n + 10 n + 14 будет делиться на 5 при любом натуральном n методом математической индукции.

Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .

Делится ли 6 n + 10 n + 14 ​​​​​​ на 5 при натуральных n ?

Решение

Мы можем представить 6 как сумму 5 + 1 . Далее мы применяем формулу бинома Ньютона и получаем:

6 n + 10 n + 14 = ( 5 + 1 ) n + 10 n + 14 = = ( C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 · 1 n – 2 + C n n – 1 · 5 · 1 n – 1 + C n n · 1 n ) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n – 1 · 1 + ⋯ + C n n – 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n – 1 + C n 1 · 5 n – 2 + … + C n n – 2 · 5 1 + 3 n + 3

Это дает нам право утверждать, что произведение, которое мы получили в ходе вычислений, делится на 5 при любом натуральном n , так как выражение в скобках является целым числом, а само произведение содержит множитель 5 .

Ответ: Да, делится.

Существует еще один подход к доказательству делимости значения выражения на 5 при некотором n : мы можем доказать, что данное выражение делится на 5 при при n = 5 · m , n = 5 · m + 1 , n = 5 · m + 2 , n = 5 · m + 3 и n = 5 · m + 4 , где m – целое число. Так мы можем обосновать вывод о том, что значение выражения делится на 5 при любом целом n .

Докажите, что n 5 − n делится на 5 при любом целом n .

Решение

Раскладываем данное выражение на множители: n 5 − n = n · ( n 4 − 1 ) = n · ( n 2 − 1 ) · ( n 2 + 1 ) = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) .

Очевидно, что первый множитель n при n = 5 · m делится на 5 . Это значит, что все полученное произведение тоже делится на 5 .

Множитель n − 1 = 5 · m при n = 5 · m + 1 делится на 5 . Следовательно, все произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 согласно свойству делимости.

Множитель n 2 + 1 при n = 5 · m + 2 будет равен 25 · m 2 + 20 · m + 5 = 5 · ( 5 · m 2 + 4 · m + 1 ) . Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Множитель n + 1 при n = 5 · m + 4 будет равен 5 · m + 5 .

Это значит, что произведение n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 .

Ответ: n 5 − n = n · ( n − 1 ) · ( n + 1 ) · ( n 2 + 1 ) делится на 5 при любом целом n .

Основные признаки делимости.

Признак делимости – правила с помощью которого можно относительно бегло найти, является ли число кратным предварительно выбранному. Если для двух целых чисел m и n имеется такое целое число k и nk=m, то число m делится на n

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости.

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы: на единицу делится все числа. Так же элементарно и с признаками делимости на два, пять, десять. На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять – число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число; 9651 не поделится на 2, так как 1 – цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9, 4, 6 и 8, 25. Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9.

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее.

Цифру можно без остатка разделить на четыре, если у нее две последние цифры нули или являются числом, которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь. Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть, если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и “числа, оставшегося без последней цифры”делится на семь, то и само число делится на семь.

Число 296492. Возьмем последнюю цифру “2”, удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 – 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру “5”, выходит 10. Вычитаем 2964 – 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой “4”, удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 – 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь – не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру “7”, удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 – 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11.

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 – 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа, две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах – число невозможно поделить целиком на 25.

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

Источники:

http://obrazovaka.ru/matematika/priznaki-delimosti-tablica-s-primerami.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/delimost/priznak-delimosti-na-5/
http://www.calc.ru/Osnovnyye-Priznaki-Delimosti.html