Системы счисления древности. История чисел

История систем счисления

История записи чисел и систем счисления ведется с появления счета у людей. Люди изображали количество различных предметов с помощью засечек или черточек. Их наносили на поверхности, служившие в то время «бумагой»: глиняные дощечки, древесную кору или камни. Первые сведения о таких записях археологи относят к периоду палеолита, то есть к 10-11 тысячелетию до нашей эры.

Такой способ записи получил название единичной системы счисления. Все числа обозначались строкой черточек (или любых других знаков, например, точек): чем больше знаков в строке – тем больше число. Эта система счета была не удобна, ведь, при больших числах, было легко ошибиться в количестве палочек. Каждый раз их приходилось пересчитывать.

Для упрощения подсчета предметы стали объединять в небольшие группы по 3, 5 и 10 единиц. При этом каждой группе соответствовал свой знак-обозначение на письме. Поскольку самым удобным счетом всегда был счет на пальцах, то первыми свое обозначение получили объединения предметов из 10 и 5 единиц. Именно это положило начало удобной системе счисления.

Система, которой пользовались древние греки, называлась аттической. Первые четыре числа записывались черточками. Для числа пять существовал свой знак – «пи», как и для числа десять – первая буква слова «дека». Сотня, тысяча и десять тысяч на письме обозначались как H, X, M.

На смену этой системе в третьем веке до нашей эры пришла ионийская система. Числа от одного до девяти в ней обозначались буквами греческого алфавита: с первой по девятую. Буквами с десятую по восемнадцатую обозначались десятки – от десяти до девяноста. И последними девятью записывались сотни – от ста до девятисот.

С помощью алфавита также записывали числа восточные и южные славяне. Часть из них пользовалась славянским алфавитом, наделяя каждую букву числовым значением. Другая – только теми буквами, которые встречаются в греческом алфавите. Отличать буквы от цифр позволял специальный значок, который ставился над числом – «титло». Такая нумерация применялась в России до XVIII века.

Начало правления Петра I принесло в страну арабскую нумерацию, которой пользуются и сегодня. Однако в богослужебных книгах до сих пор используют славянскую систему записи.

Каждый из нас хотя бы немного знаком с «римской системой», которой обозначаются века, юбилейные даты, названия конференций, строфы стихов и главы книг. Именно ей пользовались когда-то Древние римляне. Исследователи считают, что она была заимствована жителями Рима у этрусков. Все целые числа в этой системе до 5000 записывают с помощью цифр I, V, X. Если впереди стоит большая цифра, а за ней – меньшая, они складываются. Если наоборот – меньшая перед большей – вычитаются. Одна и та же цифра ставится подряд не более, чем три раза. Любое арифметическое действие в такой записи чисел становится сложной задачей. Однако до XIII века в Италии и до XVI века в странах Западной Европы пользовались именно ей.

Первую поместную или позиционную нумерацию «создали» в Вавилоне в 4000 годах до нашей эры. Ее суть в том, что одна цифра может обозначать разные числа, в зависимости от места, где стоит. Яркий пример – современная десятичная система. В зависимости от позиции в числе цифра может обозначать и десяток, и единицу, и сотню.

Вавилонская система была шестидесятеричной, поскольку за основу изначально взяли не 10, а 60. Все числа меньше записывались двумя знаками – десятков и единиц. Сами числа записывались на глиняных табличках треугольными палочками, поэтому имели вид клина. Знаки повторяли в зависимости от числа.

Шестидесятеричная система не распространилась дальше Древнего Вавилона, но шестидесятеричные дроби использовались в странах Средней Азии, Западной Европы, Среднего Востока и Северной Африки. До появления десятичных дробей они играли важную роль в астрономии и других науках. Сегодня об этой системе нам напоминает деление минуты на 60 секунд, а часа – на 60 минут, угла на 360 градусов.

Все системы счисления условно можно разделить на позиционные и непозиционные. Те знаки, которые мы в них используем для записи чисел, называют цифрами.

Положение цифры в записанном числе в непозиционных системах не влияют на величину, которая ей обозначается. Это, к примеру, системы, использующие буквы для записи цифр – славянская и римская.

Положение цифры в позиционных системах определяет значение величины, которая ей записана. При этом позиция – место, которое занимает эта цифра в числе. А количество цифр, которые используются для записи, называются основанием системы. Примерами такой системы – вавилонская шестидесятеричная и современная десятичная.

Позиционные системы используют небольшое число знаков, что позволяет просто записывать большие числа. Именно поэтому она более распространена сегодня в мире. Кроме того, она обеспечивает удобство и простоту при выполнении арифметических действий над числами.

Самое большое распространение в наше время получила индо-арабская десятичная система. В ней впервые появился ноль при записи чисел. Такое название она носит, поскольку использует десять цифр.

Легче всего понять различия между позиционной системой и непозиционной системой, сравнив два числа, записанные в одной и другой. В первой сравниваются цифры, стоящие в одном и том же месте, слева на право. Чем больше число, тем больше сама величина. Например, число 245 будет больше числа 123, потому что 2 в этой позиции больше 1. Для непозиционной системы такой закон не действует. Если мы будем сравнивать римские IX и VI, то первое будет больше второго, хотя I в одинаковой позиции меньше V.

Двоичная система счисления с основанием 2 представляет положительную позиционную систему счисления с целыми числами. Она позволяет записать все числовые значения с помощью двух знаков. Чаще всего используют цифры 0 и 1.

Основанием для восьмеричной положительной позиционной системы служит 8. Любое число в ней можно записать с помощью цифр от 0 до 7. Эту систему используют цифровые и компьютерные устройства. Именно она использовалась на заре компьютерной эры, однако сейчас уступила место более продвинутой – шестнадцатеричной.

Самая узнаваемая в мире, десятичная система представляет собой позиционную систему с основанием 10. Для обозначения чисел использует арабские цифры от 0 до 9.

Читать еще:  Евангелие от марка гл 8 толкование. Представления иудеев о мессии

Одна из самых популярных систем древности – двенадцатеричная – до сих пор используется в некоторых областях науки. Она же является основной у некоторых народов Тибета и Нигерии, но напоминает о себе и в других культурах. Например, в нашем языке сохранилось слово «дюжина», а в английском языке «dozen», которые отсылают нас к числу двенадцать. Основанием ее является 12. В качестве знаков используются буквы A и B и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления – представляет позиционную положительную систему с основанием в 16 знаков. В качестве ее цифр используют буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F для обозначения чисел от десяти до пятнадцати и цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Шестнадцатеричная система счисления используется в современных компьютерных программах, для кодировки шрифтов. Шестнадцатеричным числом во многих современных компьютерных графических программ кодируют цвета. Также шестнадцатеричным кодом шифруют цвет web-дизайнеры. Например, код #00ff00 обозначает зеленый цвет. Две буквы f в середине этого кода соответствуют числу 256 в десятичной системе счисления.

При работе с компьютерами чаще всего используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. И человек, и компьютер отлично справляются при работе в этих системах. Но отдельные случаи заставляют обратиться к менее популярным системам счисления. Такими системами являются семеричная, троичная и система счисления с основанием 32. Все арифметические действия в них не отличаются от привычных.

Защита от спама: одна тысяча шестьсот девяносто два (число): *

Древние системы счисления

Никто не знает как давно люди научились считать. Но почти наверняка нам известно как они это делали раньше. По крайней мере, с того момента когда числа начали записывать. Система счисления, это просто метод которым представляются числа, чаще всего для этого мы используем специальные знаки — цифры. Сейчас мы пользуемся (и то не всегда) десятичной системой, у нас 10 цифр, и основание тоже десятка. Количество символов и основание не обязательно должны быть равны. В клинописи, например, только один символ — клин.

Древние цифры

Самой старой системой счисления была единичная или унарная. В ней была только одна цифра — единица. Так можно было сосчитать все, что угодно, интуитивно понятно и логично. Один это — I два, это — II три — III. Все просто, один палец, один предмет, если пальцы закончатся, можно взять палочки или камешки. Для удобства цифру (одну цифру) можно группировать по три или по четыре — IIII IIII IIII. Пока не нужно считать много, очень удобно. Но древним людям не приходилось много считать, они были заняты выживанием.

Единичную систему счисления применяют и сегодня… Попав на необитаемый остров, вы будете отмечать дни именно в такой манере, зарубками на стволе дерева, например.

Двенадцатеричная система счисления

Она же Шумерская. Так как шумерская цивилизация счистится самой древней в мире, то математика скорее всего тоже самая древняя. Итак почему 12, а не 5 или 10 (по числу пальцев). На самом деле дело в пальцах, и у древних жителей Междуречья пальцев было тоже по 5 на каждой руке. Но считали они не пальцы, а фаланги. Посмотрите на картинку.

Прикасаясь большим пальцем к фалангам можно посчитать до 12. Эта система более удобна для счета чем современна десятичная. Например, удобнее делить на 3.

Записывались все числа при помощи всего двух цифр: единицы (вертикальный клин) и десятки (горизонтальный клин).

В десятичной системе 1/3 = 0,33333333 (3). А в двенадцатеричной деление на 3 — это целое число. Ведь «дюжина» делится на 1,2,3,4,6 и само на себя. А десять, только на 1,2,5 и на 10. Нет ничего сложного в том, чтобы разделить одну пиццу на троих, но как это сделать в десятичной системе? Разрезать на 10 равных частей и взять по сколько….Целые куски не получатся. А вот если основа «дюжина», то деление на три даст 0,4. Двенадцать кусочков по 4 каждому.

Система настолько удобная, что мы пользуемся ею до сих пор…

Шестидесятеричная система счисления

От 12, сразу прыгаем к 60. Вавилонское царство возникло на месте шумерского. Поэтому, 12-ти и 60-ти, это фактически одна и та же система. Откуда взялось 60? Опять таки из пальцев. На одной руке 12 фаланг, а на другой — 5 пальцев. Досчитав до 12 на одно руке загибаем палец на другой и считаем снова до 12. Два загнутых пальца — две дюжины.

И что же так считают? Время. На циферблате 12 часов по 60 минут в каждом.

Шумерские ученые первыми занялись астрономией, расчетом времени и календарем. Все остальные народы позаимствовали у них эти знания. И до сегодняшнего дня ничего не изменилось. Да и в окружности 360 градусов, а не 100, просто потому, что 360=12*30.

В Английской системе мер то же самое, в одном футе — 12 дюймов, в одном фунте — 12 унций. Во всем виноваты шумеры и удобство деления. Делить что-то на 2,3 и 4 приходится гораздо чаще, чем на 2 и на 5. Англичане точно знают, сколько это «треть фунта», а сколько будет «треть килограмма»?

Двадцатиричная система счисления

Ей пользовались индейцы майа. Но для записи использовались только три символа. Это «ноль», «единица» и «пять». Ноль изображался в виде ракушки, единица — точка, а пять — это линия. Чтобы записать число 18 делали так:

Выше написано буквально «три пятерки и три двойки», 5+5+5+3=18. В отличие от шумерской системы с двумя знаками для чисел, а индейцев Майа был самый настоящий ноль.

Десятичная система

Более молодая, чем вышеперечисленные. Использовалась в Египте, Древней Греции, Риме и, конечно, в Индии. Первыми, кто ее начал использовать были египтяне. Единица это — I двойка — II тройка — III…. Но для десятки был свой символ в виде дуги. Также и для сотни, тысячи, десяти тысяч.

Самым большой цифрой был миллион. Он изображался в виде человека с поднятыми вверх руками. Чтобы записать 12 делали так.

Впрочем, если написать «палочки» с другой стороны от дуги, число не изменится.

Древние греки тоже использовали десятичную систему, но вместо цифр — буквы. В самой древней, аттической системе египетский ряду цифр 1-10-100-1000 добавилась пятерка, которая записывалась буквой Π (пента, по-гречески «пять»). Интересно, что для денницы использовалась буква Ι.

Читать еще:  Приметы которые нужно соблюдать. Хорошие приметы на удачу! Нельзя сидеть на столе

Римская система счисления нам тоже хорошо известна. Она десятичная, так как пришла из Египта через Грецию. Единица римлян, такая же как и у египтян — I. Есть пятерка от греков — V. Многие историки считают, что такое изображение это упрощенный рисунок человеческой руки (пальцы не растопырены), а Х, это две скрещенные ладошки. У римлян, в отличие от египтян, позиция имеет значение. Так ХI — это одиннадцать, а — девять.

После рассмотрения всех старых систем, становится понятно, как развивалась древняя арифметика. Когда в унитарной системе стало не хватать символов, вводились новые. Достаточно неудобно считать «палочки» IIII IIII IIII, когда их много, добавляли символы для 5 или 10. Индейцы Майа вместо палочек использовали камешки рисовали точки для единиц, а «черточка» это пять камешков. Все опять упирается в количество пальцев.

Системы счисления древности. История чисел

Урок «История чисел и систем счисления»

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.

Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

Что такое цифра?

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.

А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать — позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?

Это запись чисел? Да! Но мы не можем писать так, как нам вздумается — нас должны понимать другие люди. Поэтому необходимо ещё использовать и определенные правила их записи.

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов использу ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала различные непозиционные системы счисления .

Непозиционные системы счисления

Непозиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от ее местоположения в записи числа.

К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были » меньше «, » больше «, » столько же «.

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать , сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Имена числительные во многих языках указывают, что у первобытного человека орудием счета были преимущественно пальцы.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10.

В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления.

Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы.

Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12.

Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук.

Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными:

Для чисел от 13 до 19 — окончание слов — teen. Например, 15 — fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Н апример, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») система счисления

Любое число в ней образуется повторением одного знака — единицы.

Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита 10-11 тысяч лет до н.э.

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Древнеегипетская десятичная система счисления

(2,5 тысяч лет до н.э. )

Пример1. Запишите число 1 245 386 в древнеегипетской записи

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена.

Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения .

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.

Читать еще:  Что можно на пост по дням. Календарь Великого поста: что можно и чего нельзя? Расписание питания в Великий пост по дням

Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми «ртами», выполнялась операция деления .

Как же египтяне считали?

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел.

Египтяне последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом — соответствующую степень двойки.

Затем отмечали вертикальными черточками строки левого столбца, из которых можно было сложить множитель (19 = 1 + 2 + 16)

и складывали числа, стоящие в отмеченных строках справа (31 + 62 + 496 = 589).

Египетские дроби всегда имели в числителе единицу (исключение составляло 2/3).

Дроби записывались как натуральные числа, только над ними ставилась точка.

Исключение: специальные знаки были для 1/2 и для 2/3.

Римская десятичная система счисления

(2 тысячи лет до н.э. и до наших дней)

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.

Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является: Запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину — число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа — прибавляется.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!

А какие могут повторяться?

Е сли слева от старшей цифры стоит младшая, то она отнимается. Если младшая цифра стоит справа от старшей, то она прибавляется — I, X, C, M могут повторяться до 3-х раз.

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Сто — C, сорок — XL, а девять — IX) = CXLIX

Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавитные системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления были распространены у древних армян, грузин, греков (альфа, бэта, гамма), арабов, евреев, и других народов Ближнего Востока, а также у славян (аз, буки, веди).

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта.

С их помощью сборщики податей заполняли квитанции об уплате подати (ясака) и делали записи в податной тетради.

Например, 1232 руб. 24 коп.

Звезда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей

Квадрат – десять рублей

В IX веке монахами братьями

Кириллом и Мефодием

была создана новая нумерация вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг.

Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел.

Эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии

до реформы Петра I (до конца XVII века).

— титло

Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр».

Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».

Таким образом, для обозначения «тем» (множественное число от слова тьма) первые 9 «цифр» обводились кружками.

Удобны ли алфавитные системы?

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления.

Позиционной системой счисления называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры зависит от ее местоположения в записи числа.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, . образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и .. .

Десятичная п озиционная система счисления

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий — изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезм

Приблизительно в 850 году н.э. он написал книгу об общих правилах решения арифметических задач при помощи уравнений.

Она называлась «Китаб ал-Джебр». Эта книга дала имя науке алгебре.

Арабский ученый математик

(из города Хорезма на реке

Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником «индийской» арифметики для всех европейских городов.

Основания, используемые в наши дни:

— 10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

— 60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, угла — на 360 градусов.

— 12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов

— 7 используется для счета дней недели

Домашнее задание: — выучить определение «система счисления» и классификацию СС

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ?

Источники:

http://www.compkursy.ru/pro-tech/numbers.htm
http://interesnye-istorii.in.ua/ancient-number-systems/
http://informatika.edusite.ru/lezione10_17i.html

Ссылка на основную публикацию
Статьи на тему:

Adblock
detector