Определение цифры и числа. Число и десятичная система счисления

Малый математический факультет

Кубанского государственного университета

• 
• 
• 

Системы счисления

Система счисления – это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.

Различают два типа систем счисления:

позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д. Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S – основание системы счисления;

– цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n – количество разрядов числа.

Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.

Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке – наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание – число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры – 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII – ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.

Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы – триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.

С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки – точки и тире, может передать практически любой текст.

Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной – восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Что такое десятичная система счисления

Что такое десятичная система счисления?

Любой человек ежедневно имеет дело с числами, и не будет преувеличением сказать, что числа сопровождают нас всю жизнь.

Числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся – все это простые арифметические действия, доступные каждому и изучаемые в начальной школе.

Есть более сложные действия с числами, этим занимается наука математика, которую иначе можно назвать наукой освоения и использования чисел в десятичной системе счисления.

Десятичная система счисления является наиболее употребительной в обычной жизни в течении долгого времени до наших дней.

История возникновения систем счисления

Исторически, в мире существовало множество систем счисления. Они начали формироваться с самых древних времен, когда появились первые примитивные способы фиксировать количество чего-либо.

Это были зарубки на дереве, либо узлы на веревке. В данных системах счисления использовался простейший метод фиксации количества чего-то путем добавления новых зарубок на деревьях либо узлов на веревках.

По мере развития человечества, в Древней Греции появилась так называемая аттическая нумерация. Ее принцип построения предвосхищает хоть и малоупотребительную в наши дни, но тем не менее всем известную римскую систему счисления.

Только обозначения числовых символов в ней были несколько другие.В третьем веке до нашей эры ей на смену пришла ионийская система счисления.

Ее основные принципы были схожи с современной десятичной системой, и в ее основе лежит именно десятичное деление.

Только цифры там обозначались буквами греческого алфавита, и не развился в полной мере еще принцип составления более высоких чисел путем комбинирования предыдущих.

Справедливости ради надо сказать, алфавитная нумерация имелась у многих других народов Древнего мира, и кто первый ее выработал – неизвестно.

Потом надолго воцарилась римская система счисления, и несмотря на свое ограниченное применение, она известна многим и в наши дни.

Десятичная же система, которой в основном мы и пользуемся вплоть до настоящего момента, возникла в Индии, и произошло это не позднее VI века нашей эры.

Получив там развитие до какого-то оформленного состояния, через страны арабского Востока она попала в Европу, таким образом, цифры этой системы получили название «арабские».

В современном мире помимо десятичной и кое-где римской систем счисления также используются:

• Двоичная – в кибернетике, электронике, программировании.
• Шестидесятеричная – для обозначения часов, минут, времени, в области измерения углов.

Мы же подробнее поговорим о десятичной системе.

Десятичная система счисления

Десятичная система является так называемой позиционной системой. Позиционные системы счисления – это системы, в которых позиция цифры напрямую определяет значение числа.

То есть, 05 – это пять, а вот 50 – это пятьдесят. Есть мнение, что возникновение десятичной системы произошло благодаря количеству пальцев на руках у человека.

Похоже на правду. Все позиционные системы, из-за фиксированных позиций их цифр, предоставляют удобство и простоту в проведении арифметических расчетов.

В десятичной системе числа представляются с помощью арабских цифр. Используется 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Из этих цифр состоят все без исключения числа десятичной системы, потому данные числа называются основанием.

Помимо основания, структуру десятичной системы формируют так называемые разряды. Десять цифр основания являются самым младшим разрядом – «единицы», они ведут к более высокому разряду – «десятки».

Система потому и называется десятичной, что для формирования более высокого разряда необходимо пройти 10 ступеней разряда предыдущего.

Все разряды в десятичной системе объединены в группы по три:

• Единицы, десятки, сотни.
• Тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч.
• Миллионы, десятки миллионов, сотни миллионов.
• Миллиарды, десятки миллиардов, сотни миллиардов.

И так далее, до плюс бесконечности.

Помимо этого, в десятичной системе существуют и отрицательные числа. Это числа со знаком «минус», они как бы ведут от нуля в другую сторону, в сторону минус бесконечности.

Числа также делятся на целые и дробные. Значение дробных чисел уточняется знаками после запятой.

Этих знаков может быть сколько угодно много – до бесконечности. Они также бывают и положительными (со знаком «плюс») и отрицательными (со знаком «минус»).

В десятичной системе счисления с числами доступны четыре основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление.

Эти действия можно проводить с любыми числами, как с дробными, так и с целыми, как с положительными, так и с отрицательными.

Единственное исключение – на число «ноль» делить нельзя, ввиду логической бессмысленности данного действия (и действительно, как можно разделить что-нибудь 0 раз).

Более сложные действия с числами (возведение в степень, корни, квадраты и прочее), в конечном счете являются производными от этих четырех простых действий.

Удобство использования, простые и понятные правила, опора на природу человека как таковую (у нас именно 10 пальцев на руках, как правило), а также энциклопедическая развитость десятичной системы счисления – именно эти качества и дали этой системе вечную жизнь.

Системы счисления

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

• непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);
• позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Непозиционные системы счисления

Примеры: унарная, римская, древнерусская и др.

Позиционные системы счисления

Основание системы счисления —

количество различных цифр, используемых в этой системе.

отношение количественного эквивалента цифры в этом разряде к количественному эквиваленту той же цифры в нулевом разряде

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Разряды числа нумеруются справа налево, причем младший разряд целой части (стоящий перед разделителем — запятой или точкой) имеет номер ноль. Разряды дробной части имеют отрицательные номера:

По определению веса разряда

где i — номер разряда, а s — основание системы счисления.

Тогда, обозначив цифры числа как a_i, любое число, записанное в позиционной системе счисления, можем представить в виде:

Например, для системы счисления с основанием 4:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1

Выполнив вычисления, мы получим значение исходного числа, записанное в десятичной системе счисления (точнее, в той, в которой производим вычисления). В данном случае:

1302.2₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 + 2⋅4 -1 =

= 1⋅64 + 3⋅16 + 0⋅4 + 2⋅1 + 2⋅0,25 =

= 64 + 48 + 2 + 0,5 = 114,5

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;
2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;
3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Вспомним пример перевода из системы счисления с основанием 4 в десятичную:

1302₄ = 1⋅4 3 + 3⋅4 2 + 0⋅4 1 + 2⋅4 0 = 114

Иначе это можно записать так:

114 = ((1 ⋅ 4 + 3) ⋅ 4 + 0) ⋅ 4 + 2 = 1302₄

Отсюда видно, что при делении 114 на 4 нацело в остатке должно остаться 2 — это младшая цифра при записи в четверичной системе. Частное же будет равно

Деление его на 4 даст остаток — следующую цифру (0) и частное 1 ⋅ 4 + 3. Продолжая действия, получим аналогичным образом и оставшиеся цифры.

В общем случае для перевода целой части числа из десятичной системы счисления в систему с каким-либо другим основанием необходимо:

1. Выполнить последовательное деление с остатком исходного числа и каждого полученного частного на основание новой системы счисления.
2. Записать вычисленные остатки, начиная с последнего (т.е. в обратном порядке)

Источники:

http://mschool.kubsu.ru/mmf/index.php?option=com_content&view=article&id=190
http://mikrozaym-na-kartu.ru/chto-takoe-desyatichnaya-sistema-schisleniya/
http://www.sites.google.com/site/415ict/textbooks/numbers