Может ли быть любой система счисления. Позиционные системы счисления

Системы счисления. Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления величина, обозначающая цифру, не зависит от положения в числе. К тому же, система может накладывать ограничения на расстановку цифр, например, чтобы цифры располагались по убыванию.

Существуют такие непозиционные системы счисления:

– Единичная система счисления,

– Пятеричная система счисления (Счёт на пятки́),

– Древнеегипетская система счисления,

– Вавилонская система счисления,

– Алфавитные системы счисления,

– Еврейская система счисления,

– Греческая система счисления,

– Римская система счисления,

– Система счисления майя,

Рассмотрим некоторые из, приведенных выше, систем счисления.

Единичная система счисления.

С первых попыток научиться считать у людей возникла необходимость записи чисел. Сначала это было легко — зарубка либо черточка на любой поверхности отвечала за один предмет. Таким образом возникла первая система счисления — единичная.

Число в единичной системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.

В более позднее время для упрощения восприятия больших чисел, эти знаки стали группировать по три или по пять. Далее равнообъёмные группы знаков начали заменять новым знаком — так возникли прообразы современных цифр.

У данной системы есть значительные недостатки — чем больше число, тем длиннее строка из палочек. Кроме того, существует большая вероятность в записи числа, пропустив или случайно дописав палочку.

Изначально в счете использовали пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система счисления.

В Древнем Египте использовали свои символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Вот некоторые из них:

Почему мы ее называем десятичной? Как указано выше — люди начали группировать символы. В Египте — решили группировать по 10, оставив без изменений цифру “1”. Здесь, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а все символы — представление числа 10 в определенной степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывали, в виде комбинаций таких символов, и все они повторялись не больше 9 раз. Результатом было сумма элементов числа. Этот метод получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Для примера посмотрите на запись числа 345:

Вавилонская шестидесятеричная система счисления.

В вавилонской системе счисления использовали только 2 символа: “прямой” клин — для единиц и “лежащий” — для десятков. Для определения значения числа нужно изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. Для примера посмотрим на число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной системы счисления.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а значения больше 59 — в позиционной с основанием 60. Например, число 92:

Запись числа была не конкретной, так как не было цифры, которая обозначала бы нуль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа они ввели новый символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Значит, число 3632 записывают так:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, которая частично основана на позиционном принципе. Эту систему счисления используют и сейчас, например, для определения времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система счисления.

Римская система счисления немного похожа с египетской. Здесь для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используют заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Способы определения значения числа:

• Значение числа соответствует сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления записывается так XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
• Когда слева от большей цифры стоит меньшая, то значение это разность между большей и меньшей цифрами. Кроме того, левая цифра может быть меньше правой максимум на 1 порядок: т.е. перед L(50) и С(100) из «младших» может быть лишь X(10), перед D(500) и M(1000) — только C(100), перед V(5) — только I(1); число 444 в римской системе счисления выглядит так:

• Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

Системы счисления. Основные понятия.

Система счисления – это метод записи числа при помощи указанного набора специальных знаков (цифр).

• даёт представление множества чисел (целых и/или вещественных);

• даёт каждому числу уникальное представление (либо, хотя бы, стандартное представление);

• отображает алгебраическую и арифметическую структуру числа.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельная позиция в отображении числа называется разряд, значит, номер позиции – номер разряда.

Количество разрядов в записи числа называют разрядностью и совпадает с его длиной.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления делятся

на однородные и смешанные.

Непозиционная система счисления — древнейшая, здесь все цифры числа имеют величину, которая не

зависит от позиции (разряда).

Т.е., если есть 5 палочек, значит число соответственно равно 5, так как каждой палочке, вне зависимости

от её места в строке, соответствует только 1 предмет.

Позиционная система счисления — значение каждой цифры зависит от позиции (разряда) этой цифры в числе.

Например, стандартная 10-я система счисления является позиционной. Допустим дано число 453.

Цифра 4 означает число сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению

50, а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Однородная система — для каждого разряда (позиции) числа набор допустимых символов (цифр)

одинаковый. Как пример снова используем 10-ю систему. Если записывать число в однородной 10-й системе,

то можно использовать в каждом разряде только одну цифру в интервале 0 – 9, т.о., допускается число 450

(1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, так как символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может

отличаться от наборов в других разрядах. Хороший пример — система измерения времени. В разряде

секунд и минут существует 60 разнообразных символов ( «00» – «59»), в разряде часов – 24 символа

(«00» – «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависим от позиции, которую она занимает в

числе. К примеру, в римской системе счисления в числе XXXII (32) вес цифры X в каждой позиции

Цифрами в римской системе служат: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).

Размер числа в римской системе счисления определяют как сумму либо разность цифр в числе. Когда

меньшая цифра стоит слева от большей – она вычитается, когда справа – прибавляется.

Самая первая система счисления — единичная (непозиционная).

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в

последовательности цифр, которые изображают число.

Каждая позиционная система характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество разных знаков либо символов, которые

используются для изображения цифр в этой системе.

Основанием принимают всякое натуральное число – 2, 3, 4, 16 и т.д. То есть, существует безграничное

множество позиционных систем.

Перевод систем счисления. Числа можно перевести из одной системы счисления в другую.

Таблица соответствия цифр в различных системах счисления.

Урок 12
§10. Представление чисел в позиционных системах счисления

Содержание урока:

10.2. Позиционные системы счисления

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Основание определяет (даёт) название системы счисления: двоичная, троичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, g-ичная и т. д. Можно говорить «система счисления с основанием q» (табл. 3.1).

Основное достоинство любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа ограниченным количеством символов. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, . g – 1.

Таблица 3.1

Основания и алфавиты систем счисления

В g-ичной системе счисления q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда.

Целое число без знака А в g-ичной системе счисления представляется в виде конечной суммы степеней числа q — суммы разрядных слагаемых:

• q — основание системы счисления;
• а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления (0 ≤ а_i ≤ q – 1);
• q i — весовой коэффициент разряда.

Последовательность чисел, каждое из которых задаёт «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Число А, свёрнутая запись которого в системе счисления с основанием q имеет вид a_n-1a_n-2. a₀,a_-1. a_-m, может быть представлено в развёрнутой форме как а_n-1 • g n-1 + а_n-2 • q n-2 + . + а₀ • q 0 + • a_-1 + g -1 + . + а_-m • q -m .

Свёрнутой формой записи числа мы пользуемся в повседневной жизни, иначе её называют естественной формой или цифровой.

Развёрнутая форма записи чисел также всем хорошо известна. Ещё в начальной школе дети учатся записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых. Например:

125 248 = 1 • 100 000 + 2 • 10 000 + 5 • 1 000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 8 • 1.

Если представить разряды в виде степей основания, то получим:

125 248 = 1 • 10 5 + 2 • 10 4 + 5 • 10 3 + 2 • 10 2 + 4 • 10 1 + 8 • 10 0 .

Аналогичным образом представляются и дроби:

0,125 = 1/10 + 2/100 + 5/1000 = 1 • 10 -1 + 2 • 10 -2 + 5 • 10 -3 .

Иногда бывает полезно преобразовать развёрнутую форму записи числа так, чтобы избежать возведения основания системы счисления в степени.

Например, можно записать:

125 248 = 1 • 10 5 + 2 • 10 4 + 5 • 10 3 + 2 • 10 2 + 4 • 10 1 + 8 • 10 0 = ((((1 • 10 + 2) • 10 + 5) • 10 + 2) • 10 + 4) • 10 + 8;

0,125 = 1 • 10 -1 + 2 • 10 -2 + 5 • 10 -3 = ((5/10 + 2)/10 + 1)/10.

Такую форму представления числа называют разложением по схеме Горнера.

Изучая десятичную систему счисления с раннего возраста и используя её в повседневной практике, многие люди не догадываются о существовании других систем счисления.

Но так ли хороша десятичная система счисления? Великий французский математик и естествоиспытатель Блез Паскаль (1623-1662) писал: «Десятичная система построена довольно неразумно, конечно, в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей». В ряде теоретических и практических задач некоторые системы счисления, отличные от десятичной, имеют определённые преимущества.

Первые механические счётные машины были разработаны на основе десятичной системы счисления. Для реализации десяти устойчивых состояний в них использовались сложные системы зубчатых колёс (рис. 3.1). Такие машины были очень громоздки, занимали много места.

Рис. 3.1. Механизм передачи десятков в арифмометре П.Л. Чебышёва

Так, если бы проект Аналитической машины Ч. Беббиджа — механического прототипа появившихся спустя столетие ЭВМ — был реализован, то по размерам такая машина сравнялась бы с локомотивом. В 1937 году немецкий инженер К. Цузе создал вычислительную машину, основанную на принципах действия аналитической машины Ч. Беббиджа. Она была механической, но работала на основе двоичной системы счисления, что позволило значительно уменьшить её размеры: машина занимала всего 2 м 2 на столе в квартире изобретателя!

В наши дни большой практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Cкачать материалы урока

Источники:

http://www.calc.ru/Sistemy-Schisleniya-Nepozitsionnyye-Sistemy-Schisleniya.html
http://www.calc.ru/Sistemy-Schisleniya-Osnovnyye-Ponyatiya.html
http://xn—-7sbbfb7a7aej.xn--p1ai/informatika_10_fgos/informatika_materialy_zanytii_10_12_fgos_02.html