Координаты на прямой. Положительные и отрицательные числа

Отрицательные числа

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Координатная прямая

Координатная прямая это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны только числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞ , а положительное символом +∞ . Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2« и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4« и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B .

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше, чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше, чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше, чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше, чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Тема урока: Координаты на прямой”. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Тема: “Координаты на прямой”.

  • Дать всесторонние представления о новых числах.
  • Научить читать и записывать положительные и отрицательные числа, изображать их точками на прямой.
  • Определять координаты точек, находить координату точки, отмечать на координатной прямой точку по ее координате.
  • Формировать навыки мыслительной деятельности, , внимательность, культуру чтения, культуру математической речи, развивать активность учащихся.
  • Читать еще:  Крестят ли евреи своих детей. Как крестятся католики, какой рукой, как складывают пальцы: схема как правильно креститься

    Оборудование: демонстрационная координатная прямая, демонстрационный термометр, таблицы, инструменты (линейка с делениями), карточки.

    Ход урока:

    2. Устный счет. “Метод “мягкой посадки”.

    Правильно ли решил примеры Незнайка?

    Какой луч называется координатным лучом?

    Имеет ли координатный луч конец? Начало?

    Каким числам соответствуют точки А, Е, С, Д на координатном луче?

    Каким точкам на координатном луче соответствуют числа 2, 4, 5, 8?

    2. Подготовка к изучению нового материала.

    Задача 1. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз.

    Что нужно знать, чтобы определить положение белки на дереве? Достаточно ли знать лишь расстояние белки от дупла?

    Задача 2. “Метеор” вышел с поселка Горноправдинск и идет со скоростью 40 км/ч.

    В каком месте “Метеор” будет через 2 часа?

    Достаточно ли знать только расстояние? (Ответ: нет, надо знать еще и направление).

    3. Изложение нового материала.

    Практическая работа с классом. (Работа учащегося у доски и работа класса в тетради).

    Начертить горизонтальную прямую.

    Отметить на ней точку О (начало отсчета).

    Выбрать единичный отрезок и отложить его вправо и влево от начала отсчета один раз, два, три и т.д. раз.

    Под каждой точкой подпишите соответствующее число.

    Чем неудобна эта шкала? (Одно и то же число стоит под двумя разными точками).

    Как выйти из этого затруднения?

    В математике принято числа, которые идут влево от начала отсчета, записывать со знаком минус “-”.

    Введение понятия положительных и отрицательных чисел.

    Направление вправо от начала отсчета называется положительным, и направление на прямой обозначают стрелкой. Числа, расположенные вправо от точки О, называются положительными.

    Влево от точки О располагают отрицательные числа, и направление влево от точки О называется отрицательным (отрицательное направление не указывается).

    Отрицательные числа пишутся со знаком “-”.

    Читают: “Минус один”, “Минус два”, “Минус три” и т.д.

    Число 0 – начало отсчета не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно отделяет положительные от отрицательных чисел.

    Координатная прямая.

    Определение: прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называется координатной прямой.

    Задание: назвать среди этих прямых прямую, которая является координатной.

    Координата точки.

    Определение: число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

    Работа по учебнику. Повторить определение координатной прямой; координаты точки.

    Ввести понятие вертикальной координатной прямой.

    Работа по таблице.

    Говорят: “Точка А имеет координату 2”; “Точка С имеет координату – 4”.

    Пишут: А (2); В (3,5); С (- 4); D (- 2).

    Читают: “Точка А с координатой 2”; “Точка С с координатой – 4” и т.д.

    Задание: Прочитать следующие записи: О (0); А (- 6); В (- 1,2); С (0,5); D (2,8).

    Психологическая разгрузка: (Звучит фонограмма “шум моря”).

    На фоне “шума волн” звучит фрагмент из произведения М.Горького “Песня о Соколе”:

    “… Море огромное, лениво вздыхающее у берега, – уснуло и неподвижно в дали, облитой голубым сиянием луны. Мягкое и серебристое, оно слилось там синим, нежным небом и крепко спит, отражая в себе прозрачную ткань перистых облаков, неподвижных и не скрывающих собою золотых узоров звезд. Кажется, что небо все ниже наклоняется над морем, желая понять то, о чем шепчут неугомонные волны, сонно скользя на берег…”.

    4. Закрепление нового материала.

    Игровой момент. (Демонстрационная доска с координатной прямой).

    Учитель укрепляет точку. Ученики называют ее координату.

    Учитель называет число. Учащиеся укрепляют точку с данной координатой.

    Практическая работа: (На столах – карточки с координатной прямой, на которой отмечены точки).

    Написать координаты точек А, В, С, D, Е, К, О, М.

    Прочитать получившиеся записи.

    Игровой момент: “Найди ошибку”.

    На координатной прямой отмечены точки А, В, С, D.

    Незнайка записал координаты точек так: А (2), В (- 3), С (- 2), D (- 4). Верно ли он записал?

    5. Итог урока.

    Учащиеся отвечают на вопросы учителя:

    Какая прямая называется координатной?

    Какими числами является координата точек на координатной прямой справа от начала координат? Слева от начала координат?

    Какую координату имеет начало отсчета?

    6. Выставление оценок.

    7. Домашнее задание: п. 26, №902- устно, № 903, №904.

    Координаты на прямой – ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА – РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

    Основная цель — расширить представления учащихся о числе путем введения отрицательных чисел.

    Целесообразность введения отрицательных чисел показывается на содержательных примерах. Учащиеся должны научиться изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой с тем, чтобы она могла служить наглядной основой для правил сравнения чисел, сложения и вычитания чисел, рассматриваемых в следующей теме.

    Специальное внимание должно быть уделено усвоению вводимого здесь понятия модуля числа, прочное знание которого необходимо для формирования умения сравнивать отрицательные числа, а в дальнейшем для овладения и алгоритмами арифметических действий с положительными и отрицательными числами.

    Читать еще:  Постоянно снится бывшая девушка что делать. Сонник: бывшая девушка

    КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ (3 ч)

    Урок 94. Координаты на прямой

    Цели: «открыть» множество отрицательных чисел, определить их место на координатной прямой; ввести обозначение отрицательных чисел, показать применение их при решении задач межпредметного характера, анализировать и систематизировать знания об изученных числах; учить анализировать собственные умения, причины затруднений при выполнении задания, находить новые способы решения.

    Информация для учителя

    Лучше при объяснении темы использовать макеты термометров для детей и один большой демонстрационный – для учителя.

    Обратить внимание учащихся, что перед построением координатной прямой, нужно внимательно прочитать все задание и продумать, где отмечать точку, соответствующую началу отсчета, и выбирать единичный отрезок таким образом, чтобы задание было выполнимо полностью.

    I. Организационный момент

    II. Анализ контрольной работы

    1. Познакомить учащихся с результатами контрольной работы.

    2. Решить задания, где допущено наибольшее количество ошибок.

    В зависимости от уровня класса:

    а) можно провести в виде фронтальной работы, проговаривая правила нахождения дроби от числа и нахождения числа по данному значению его дроби;

    б) можно — в виде математического диктанта, когда учащиеся записывают только решение;

    в) проверка — фронтальная, взаимопроверка или проверка учителем и выставление оценок за работу.

    1. Найдите 5/8 числа 400.

    2. В книге 180 страниц. Мальчик прочитал 30 страниц. Какую часть книги прочитал мальчик?

    3. Найдите число, 3/8 которого есть 30.

    4. В книге 30 страниц. Девочка прочитала 2/3 книги. Сколько страниц она прочитала?

    5. Число 22 составляет 2/7 некоторого числа. Найдите это число.

    6. Сыну 8 лет. Его возраст составляет 1/5 возраста отца. Сколько лет отцу?

    7. Туристы за три дня проехали 40 км. В первый день они проехали 1/8, а во второй день 1/5 всего пути. Сколько километров проехали туристы в третий день пути?

    8. В книге 240 страниц. Даша прочитала 60 страниц. Какую часть книги прочитала Даша? Найдите процентное отношение.

    9. Внуку 10 лет. Его возраст составляет 2/11 возраста бабушки. Сколько лет бабушке?

    10. Число 150 составляет 2/7 некоторого числа. Найдите это число.

    11. Найдите 2/5 числа 300.

    12. Найдите число, 10% которого равны 33.

    — Попробуйте по 10-балльной шкале оценить свои знания при решении задач.

    IV. Сообщение темы урока

    Решите ребус. (Минус.)

    Это слово будет играть важную роль при изучении новой темы «Положительные и отрицательные числа».

    V. Изучение нового материала

    1. Подготовительная работа.

    — Где в практической жизни вы встречались с величинами, которые могут изменяться в противоположных направлениях? (Тепло — холод, влево — вправо, вверх — вниз, наличие денег — долг и т. д.)

    — Найдите значение выражения:

    3,5 – 2,8; 123 – 78; 10 – 7,4; 8,4 – 9,5.

    Проблема: мы не можем найти значение последнего выражения.

    — Решите уравнения: 15 — х = 12; 12 – у = 15.

    Проблема: мы не можем найти неизвестное вычитаемое во втором уравнении.

    2. Работа над новой темой.

    — Почему не решили второе уравнение?

    — Бывают ли в жизни ситуации, когда нужно от меньшего отнимать большее число?

    — Должны ли существовать числа для решения таких ситуаций?

    Вывод: необходимо ввести такие числа.

    — Вспомните, что такое координатный луч?

    VI. Практическая работа

    1. Постройте координатный луч ОХ так, чтобы начало луча было посередине тетради. За единичный отрезок примите длину 1 клетки.

    2. Давайте продолжим координатный луч отточки О влево, сохраняя единичный отрезок.

    — Какая геометрическая фигура получилась? (Прямая.)

    — Обозначьте ее АВ.

    — Сколько лучей на чертеже? (Два луча: ОА и ОВ.)

    — Как называются такие лучи? (Дополнительные.)

    — Точка О изображает 0 (нуль), является точкой отсчета или началом координат. Те числа, которые расположены левее точки отсчета, называются отрицательными.

    (Открыть табличку со словом «отрицательные».)

    — Отрицательные числа принято записывать с помощью знака «-», который ставится перед числом.

    Например: и т.д.

    — Отметьте на координатной прямой любые три отрицательных числа. Не забудьте про единичный отрезок.

    — Числа, расположенные правее отточки начала отсчета, называются положительными.

    — Для записи положительных чисел используется «+», но для краткости мы его опускаем.

    Например: +5 = 5; +12 = 12; +9,5 = 9,5; +2 = 2.

    +5 и 5 — это одно и то же число, только по-разному обозначенное.

    — Что вы можете сказать о числе 0? (Число 0 (начало отсчета) не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных.)

    — Как могут находиться прямые на плоскости? (В любом положении.)

    — Так как прямые могут находиться в различных положениях, то дополнительные лучи могут идти не только влево и право, но и вверх и вниз.

    — Если прямая расположена горизонтально, то принято положительными считать координаты точек, расположенных справа от начала отсчета, то есть от точки О, а отрицательными — координаты точек, расположенных слева от точки О.

    (Показать на чертеже.)

    — Как вы думаете, если прямая расположена вертикально, где находятся положительные координаты точек, a где — отрицательные?

    Читать еще:  Где размещать кровать по фэншую. Выбираем цвет постельного белья

    — Положительное направление отмечают стрелкой.

    — Итак, прямую с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

    А теперь постройте в тетрадях, с помощью линейки и аккуратно, координатную прямую и обозначьте на ней точку начала отсчета, единичный отрезок (две клетки тетради), покажите положительное направление прямой.

    — Как вы думаете, от какого глагола произошло слово «точка»? (Ткнуть.)

    — Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки. Координата определяет положение точки на прямой.

    — Вспомните, как обозначают координаты точки.

    — Запишите: точка А имеет координату 5, точка В — координату — 1, С — координату -3,5, D – координату -5, Е — координату 3,2.

    (Ответы: )

    — На координатной прямой отметьте эти точки.

    — Таким образом, с помощью нуля, положительных и отрицательных чисел можно указать положение точки на прямой.

    VIII. Работа над задачей

    № 917 (1) стр. 153 (на обратной стороне доски и в тетрадях, самопроверка).

    — Составьте план решения задачи.

    1-м действием можно найти, сколько весят 6 ящиков и 4 коробки. Для этого из общей массы вычтем массу контейнера.

    2-м действием найдем, сколько всего ящиков и коробок погрузили. Для этого сложим количество ящиков и коробок.

    3-м действием, так как масса ящика и коробки одинакова, найдем, сколько весит один ящик или одна коробка. Для этого массу всех ящиков и коробок разделим на их количество.

    — Запишите самостоятельно решение.

    (Можно сильным ученикам дополнительно предложить решить задачу алгебраическим способом.)

    1) 0,73 – 0,13 = 0,6 (т) — весят 6 ящиков и 4 коробки.

    2) 6 + 4 = 10 (штук) – всего ящиков и коробок.

    3) 0,6 : 10 = 0,06 (т) = 60 (кг)

    IX. Закрепление изученного материала

    1. По рисункам определить, какие из прямых являются координатными прямыми, а какие — нет. Докажите, почему.

    Предложить учащимся проанализировать рисунки, где отмечено:

    1) только начало отсчета и положительное направление;

    2) начало отсчета, единичный отрезок и положительное направление;

    3) только начало отсчета и единичный отрезок.

    2. Запишите в тетради любые три отрицательных числа. Запишите любые три положительных числа.

    В древней Индии в VII веке люди знали о существовании отрицательных чисел, их обозначали палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество».

    3. № 891 стр. 148 (устная работа в парах).

    Вариант I. Отвечает на а); в).

    Вариант II. Отвечает на б); г).

    (Ответ: белка может оказаться или на земле, или в ветках дерева на высоте 6 м над землей;

    а) в 5 м от земли; б) на земле; в) в 1,5 м от земли; г) в 5,5 м от земли.)

    4. № 892 стр. 148—149 (фронтальная работа).

    — Можно сразу ответить на первый вопрос задания? (Нет.)

    — Почему? Что сначала нужно узнать? (Какое расстояние пройдет поезд за 3 часа.)

    — Как найти расстояние? (Надо скорость умножить на время.)

    — Сколько ответов можно дать на первый вопрос? Почему? (Не указано направление движения поезда.)

    — Так в какой же город приедет поезд через 3 ч? (Омск или Курган.)

    (Ответы: а) за 10 ч поезд пройдет: 90 · 10 = 900 км, поезд прибудет в Новосибирск, б) за 5 ч поезд пройдет 90 · 5 = 450 км, поезд находится в 80 км от Челябинска.)

    X. Самостоятельная работа (Взаимопроверка.)

    Отметьте на координатной прямой точки. За единичный отрезок примите длину одной клетки тетради.

    Можно попросить помощи у консультантов.

    XI. Повторение изученного материала

    1. № 909 (а, б) стр. 152 (у доски и в тетрадях).

    Решение: перечислить все числа, которые располагаются между данными числами и сосчитать их.

    а) 7 чисел; б) 8 чисел.

    2. № 913 стр. 152 (самостоятельно, устная проверка).

    — Прокомментируйте свой ответ.

    (Ответ: )

    XII. Подведение итогов урока

    — Где вы встречаетесь с отрицательными и положительными числами?

    1. Доход — расход (дебет — кредит).

    3. Выигрыш — проигрыш.

    4. Изменение температуры воздуха.

    5. Приливы и отливы в морях и океанах на уроках географии.

    6. Изменение процентных ставок по вкладам в банках на уроках экономики.

    7. Изменение уровня воды в реке.

    8. Сжатие и растяжение пружины на уроках физики.

    9. Летоисчисление на уроках истории («линия времени»).

    10. Движение по воде (по течению и против течения).

    11. Высота над уровнем моря — глубина впадин на уроках географии.

    Положение точки земной поверхности, находящейся выше уровня воды в океане (этот уровень обозначают числом 0), обозначают положительным числом, а ниже уровня океана – отрицательным числом. Аналогично можно объяснить любое понятие, рассматриваемое в итоге урока.

    — Где в жизни мы еще встречаемся с координатной прямой (шкалой)? (Термометры, «линия времени».)

    Прочитать § 26 на стр. 147, выучить определения.

    № 914 стр. 152, № 917 (2) стр. 153, № 920 стр. 154.

    Творческое недельное задание (по желанию).

    Придумать сказку о положительных и отрицательных числах.

    Источники:

    http://spacemath.xyz/otricatelnie_chisla/
    http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/311859/
    http://compendium.su/mathematics/mathematics6/94.html

    Ссылка на основную публикацию
    Статьи на тему: