Что значит сравнить два числа. Сравнение чисел

Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,34 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что 2,34 больше, чем

2,35 >

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Сравнение целых чисел: правила, примеры

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными.

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и – 0 . Противоположное число – 0 и есть 0 , в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа – 95 и – 95 . Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и – 6897 , то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

Если числа равные, это записывается при помощи знака « = ». Его расположение идет между числами. Если возьмем числа – 45 и – 45 , то они равны. Запись принимает вид – 45 = – 45 . В случае, если числа неравны, тогда применяется знак « ≠ ». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и – 69 . Эти числа целые, но не равные, так как запись отличается друг от друга.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными. Иначе их называют не равными.

Рассмотрим на примере данное определение.

Например, даны два числа – 709 и – 712 . Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Если взяты два числа 11 и 11 . Они оба равные. По модулю также числа одинаковы. Данные натуральные числа можно считать равными, так как их записи совпадают полностью.

Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было отмечено, что ноль равен сам себе даже со знаком минус. В таком случае равенства 0 = 0 и 0 = – 0 равнозначны и справедливы. При сравнении натуральных чисел имеем, что все натуральные числа больше нуля. Все целые положительные числа натуральные, поэтому и больше 0 .

При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля. Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4 , 57666 , 677848 больше, чем 0 , так как являются положительными. Отсюда следует, что нуль меньше указанных чисел, так как они со знаком + .

При сравнении отрицательных чисел дела обстоят иначе. Число – 1 является целым и меньшим, чем 0 , так как имеет знак минус. Значит, – 50 также меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Принимаются определенные обозначения для записи при помощи знаков меньше или больше, то есть и > . Такая запись, как – 24 0 имеет значение, что – 24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше, чем другое, применяют знак > , например, 45 > 0 .

Сравнение положительных целых чисел

Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.

Если рассмотреть на примере сравнения 34001 и 5999 . Визуально видим, что первое число имеет 5 знаков, а второе 4 . Отсюда следует, что 5 больше 4 , то есть 34001 больше 5999 .

Ответ: 34001 > 5999 .

Рассмотрим еще один пример.

Если имеется положительные числа 357 и 359 , то видно, что они не равны, хотя оба трехзначные. Производится поразрядное сравнение. Сначала сотен, потом десятков, затем единиц.

Получим, что число 357 меньше 359 .

Ответ: 357 359 .

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел

Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.

Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.

Сравнить заданные числа – 45 и 23 . Видим, что 23 – положительное число, а 45 – отрицательное. Заметим, что 23 больше – 45

Если сравнивать – 1 и 511 , то визуально понятно, что – 1 меньше, так как имеет знак минус, а 511 имеет знак + .

Сравнение целых отрицательных чисел

Рассмотрим правило сравнения:

Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Если сравнивать – 34 и – 67 , то следует произвести сравнение их по модулю.

Получаем, что 34 меньше 67 . Тогда модуль – 67 больше модуля – 34 , значит, что число – 34 больше числа – 67 .

Ответ: – 34 > – 67 .

Сравниваемые целые числа на координатной прямой

Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел – 1 и – 6 видно, что – 6 лежит левее, а следовательно является меньше – 1 . Точка 2 расположена правее – 7 , значит она больше.

Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала составляются всевозможные пары. Например, рассмотрим для чисел 7 , 17 , 0 и − 2 . Необходимо сравнить их попарно, то есть запись примет вид 7 17 , 7 > 0 , 7 > − 2 , 17 > 0 , 17 > − 2 и 0 > − 2 . Результаты могут быть объединены в цепочку неравенств. Запись числе производится в порядке возрастания. В данном случае цепочка будет иметь вид − 2 0 7 17 .

Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Число заданного множества считается наименьшим, если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.

Число заданного множества является наибольшим, если оно больше любого другого из заданных чисел множества.

Если множество состоит из 6 целых чисел, то запишем это так: − 4 , − 81 , − 4 , 17 , 0 и 17 . Отсюда следует, что − 81 − 4 = − 4 0 17 = 17 . Видно, что – 81 – наименьшее число из данного множества, а 17 – наибольшее. Это значит, что эти числа наибольшее и наименьшее только в заданном множестве.

Все числа множества необходимо записывать в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в данном случае: … , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … . Данный ряд запишется, как … − 5 − 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 5 … .

Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.

Множество положительных чисел имеет наименьшее натуральное число, которое равно 1 . Ноль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа, расположенные левее него отрицательные и меньше 0 .

Сравнение натуральных чисел

Сравнить два числа – это значит определить, равны они или нет, если нет, то определить, какое из них больше, а какое – меньше.

Равные и неравные натуральные числа

Если записи двух натуральных чисел одинаковы, то говорят, что эти числа равны между собой. Числа, которые равны, называются равными. Если записи двух натуральных чисел отличаются, то говорят, что эти числа не равны. Числа, которые не равны, называются неравными.

Пример. Натуральное число 34 равно числу 34 (их записи одинаковы), а натуральные числа 63 и 67 не равны (их записи различны). Следовательно числа 34 и 34 – равные, а 63 и 67 – неравные.

Равенства и неравенства

Для записи результата сравнения чисел используются следующие знаки:

=, > и равно или равняется . Например, если числа a и b равны, то пишут a = b и говорят: a равно b .

Запись, которая состоит из математических выражений, между которыми ставится знак = называется равенством.

4 = 4 – равенство.

2 + 3 = 5 – равенство.

2 + 2 = 1 + 1 + 2 – равенство (подобные записи представляют собой равенство двух числовых выражений, и означают равенство значений этих выражений).

Равенства могут быть как верными (например, 5 = 5 – верное равенство), так и неверными (например, 11 = 14 – неверное равенство).

Два других знака (> и – больше , а знак меньше . Например, если число a больше числа b, то пишут a > b и говорят: a больше b или пишут b b меньше a . Знаки > и или 4 – неравенство.

2 8 – неверное неравенство).

Кроме неравенств со знаками > и , которые называются строгими, используются нестрогие неравенства, для которых введены знаки ⩾ и ⩽ . Знак ⩾ читается больше или равно , знак ⩽ – меньше или равно . Нестрогое неравенство допускает случай равенства левой и правой его частей. Так, например, 7 ⩽ 7 – верное неравенство.

Также для записи неравенства двух натуральных чисел может применяться знак ≠ . Знак ≠ читается не равно . Например, запись a ≠ b – означает a не равно b.

Обычно, если не оговорено иное, понятие неравенства относится только к записям со знаками > , , ⩾ и ⩽ .

Правила чтения равенств и неравенств

Равенства и неравенства читаются слева направо. Левая часть равенства читается в именительном падеже, а правая – в дательном.

Пример. 7 = 7 – семь равно семи.

Левая часть неравенства читается в именительном падеже, а правая – в родительном.

Пример. 11 > 9 – одиннадцать больше девяти, 3 4), так как в натуральном ряду число 7 находится правее числа 4.

Для применения правил сравнения чисел по их десятичной записи необходимо принять одну условность: будем считать, что число 0 меньше любого натурального числа, и что нуль равен нулю.

Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи:

Если записи сравниваемых чисел состоят из одинакового количества цифр, то числа сравниваются поразрядно слева направо. Большим будет считаться то число, у которого первая (слева направо) из неодинаковых цифр больше.

Когда говорят, что цифры равны (или одна цифра больше другой), то имеют ввиду, что соответствующие им числа равны (или одно число больше другого).

Пример. Сравним натуральные числа 4026 и 4019. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Сначала сравниваем значения разряда тысяч. Получаем равенство 4 = 4, поэтому переходим к сравнению значений следующего разряда. Опять получаем равенство 0 = 0, переходим к сравнению значений разряда десятков. Теперь имеем неравенство 2 > 1, из которого делаем вывод, что число 4026 больше числа 4019 (4026 > 4019), потому что у первого числа, цифра разряда десятков (2) больше, чем цифра разряда десятков (1) у второго числа.

Если количество цифр в записи, сравниваемых чисел, разное, то большим будет считаться то число, у которого количество цифр больше.

Пример. Сравним натуральные числа 347 503 и 34 503. Для удобства сравнения можно записать их одно под другим:

Источники:

http://spacemath.xyz/sravnenie-ratsionalnyh-chisel/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/dejstvitelnye-ratsionalnye-irratsionalnye-chisla/sravnenie-tselyh-chisel/
http://izamorfix.ru/matematika/arifmetika/sravnenie_naturalnyh_chisel.html