Что такое совершенное число. Совершенные числа

Совершенные числа

Содержание

1. Что такое совершенное число?
2. Немного истории
3. Сколько совершенных чисел?
4. Свойства совершенных чисел
5. Что мы узнали?

Бонус

• Тест по теме

Что такое совершенное число?

Совершенное число – это числа, сумма делителей которого равняется этому числу. Имеются в виду только те числители, что меньше самого числа. Наименьшим совершенным числом является число 6.

Простые делители 6: 1,2,3 – если их сложить то получится все тоже число 6.

Немного истории

Совершенными числами впервые заинтересовались древнегреческие математики. Они были увлечены идеей простого числа. Так, второе простое число было обнаружено Пифагором, который полагал, что обнаружив закономерность, по которой образуются простые числа, можно вывести идеальное имя человека. Это была идея всех математиков того времени.

Первым, кто попытался вывести подобную зависимость научным путем, был Евклид, в своих трудах он указывал на некоторые признаки совершенных чисел. Однако, несмотря на все труды математиков всех времен и народов, обнаружить формулу совершенного числа до сих пор не удалось

Это удивительно, но ни одна из предложенных формул совершенных чисел не дает возможности определить следующее по порядку совершенное число. Все, что может предложить современная математика: бесконечный перебор вариантов.

Сколько совершенных чисел?

Да, тяжело в это поверить, но открытых совершенных чисел не так много. Так последнее на данный момент, 50 число было открыто всего в 2018 году с помощью вычислений сверхмощного компьютера.

Зачем же нужны компьютеры для простого перебора чисел? Ну, как минимум, это ускоряет расчет в десятки тысяч раз. Но помимо этого есть и еще одна причина. Дело в том, что чем каждое следующее совершенное число в разы больше предыдущего, что еще больше усложняет выведение формулы числа и нахождение следующих чисел ряда.

Так, первое число из списка совершенных чисел мы знаем: 6. Следующее: 48, далее идет 896. А вот в 24 числе уже 12000 знаков. По мере роста натуральных чисел, совершенные числа встречаются все реже.

Большую часть совершенных чисел нашли уже в современности. Огромное 24 число было найдено в 1956 году с использованием ЭВМ. На сегодняшний день таких в список совершенных чисел входит 50 значений.

Свойства совершенных чисел

Особых свойств совершенные числа не имеют, но есть интересные закономерности. Интересно, что практически каждая закономерность имеет свои исключения, а потому не может быть использована для выведения общей для всех совершенных чисел формулы.

Например, совершенные числа являются суммой кубов последовательных чисел. Однако под это свойство не попадает число 6 и так далее. Практически каждое свойство имеет свое исключение, кроме двух.

Так, сумма обратных чисел простых делителей совершенного числа всегда равна 2. А так же до сих пор не найдено ни одно нечетное совершенное число. Возможно это связано с моделью поиска, а может быть дело в том, что все совершенные числа: четные.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое совершенные числа. Рассказали, сколько всего совершенных чисел найдена, чем затруднен поиск новых чисел, а также привели несколько интересных свойств совершенных чисел.

math4school.ru

Совершенные числа

Вступление

Античные математики считали очень важным рассматривать вместе с каждым числом все его делители, отличные от самого этого числа. Такие делители называют собственными . Числа, имеющие много собственных делителей, назывались abundant (избыточными), а имеющие мало, – defizient (недостаточными). При этом в качестве меры использовалось не количество, а сумма собственных делителей, которую сравнивали с самим числом. Так например, для 10 сумма делителей

т.е. делителей «избыток». Поэтому 10 – «недостаточное», а 12 – «избыточное» число.

Встречается и «пограничный» случай, когда сумма собственных делителей равна самому числу. Например, для 6

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Такие числа древние греки особенно ценили и назвали их совершенными . Точно неизвестно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в древнем Вавилоне и древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века н.э. в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 – первое совершенное число.

Распространённый в средневековой Европе и на Ближнем Востоке пальцевый счёт.
Из книги «Сумма арифметики» итальянского математика Луки Пачоли, 1494 год.

Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце.

Первое доказанное утверждение о совершенных числах принадлежит Евклиду (III век до н.э.). В его «Началах», выдержавших после Библии, пожалуй, наибольшее число изданий, мы находим в книге IX теорему 36, устанавливающую способ получения совершенных чисел. На современном языке она звучит так:

Теорема Евклида. В тех случаях, когда число

Для доказательства этого утверждения Евклид использует формулу суммы членов геометрической прогрессии. Ниже мы рассмотрим доказательство этой теоремы, но прежде познакомимся с историей поиска совершенных чисел.

В начале было 6

Никомах Герасский (I–II век н.э.), знаменитый греческий философ и математик, писал:

Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного.

Сколько же их? Никомах этого не знал. Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте на званом пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и самый почетный гость. Особыми мистическими свойствами обладало число 6 в учении пифагорейцев, к которым принадлежал и Никомах. Много внимания уделяет этому числу великий Платон (V–IV век до н.э.) в своих «Диалогах». Недаром и в библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней, ведь более совершенного числа среди совершенных чисел, чем 6, нет, поскольку оно первое среди них.

Следующим совершенным числом, известным древним, было число 28. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.

Древних математиков удивляло особое свойство этих двух чисел. Каждое из них, как уже было отмечено, равно сумме всех своих собственных делителей:

6 = 1 + 2 + 3 и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

До Евклида были известны только эти два числа, и никто не знал, существуют ли еще совершенные числа и сколько их вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел; конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что

всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей

где 2 p – 1 – простое число, является совершенным числом, –

эта теорема теперь носит его имя. Если в формулу Евклида

подставить p = 2, то получим

2 2–1 · (2 2 – 1) = 2 1 · (2 2 – 1) = 2 · 3 = 6

– первое совершенное число, а если p = 3, то

2 3–1 · (2 3 – 1) = 2 2 · (2 3 – 1) = 4 · 7 = 28

Благодаря своей формуле Евклид сумел найти еще два совершенных числа: третье при p = 5 и четвертое при p = 7. Вот эти числа:

2 5–1 · (2 5 – 1) = 2 4 · (2 5 – 1) = 16 · 31 = 496

2 7–1 · (2 7 – 1) = 2 6 · (2 7 – 1) = 64 · 127 = 8 128.

Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, не зная, есть ли таковые еще и возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признанию божественности этих удивительных чисел.

Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин (ок.735–804), один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только потому несовершенен, и в нем только потому царит зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге, а 8 – число несовершенное. До потопа род людской был более совершенен – он происходил от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе, своему единственному делителю. Алкуин жил в VIII веке. Но даже в XII веке церковь учила, что для спасения души вполне достаточно изучать совершенные числа, и тому, кто найдет новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство. Но и жажда этой награды не смогла помочь математикам средневековья.

Следующее, пятое совершенное число обнаружил немецкий математик Региомонтан (1436–1476) лишь в XV веке. Оказалось, что и пятое совершенное число также подчиняется условию Евклида. Не удивительно, что его так долго не могли найти. Гораздо более поражает то, что в пятнадцатом веке вообще смогли его обнаружить. Пятое совершенное число равно

ему соответствует значение р = 13 в формуле Евклида.

Еще через двести лет Марен Мерсенн (1588–1648) французский богослов, математик и теоретик музыки, один из основателей Парижской академии наук, друг Декарта и Ферма, без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовскую форму со значениями p равными 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Современникам Мерсенна было совершенно очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2 p – 1 с указанными значениями p действительно являются простыми. Вычислить любое из них совсем нетрудно, но выяснить, простые все эти числа или нет, – это выходило далеко за пределы человеческих сил. Так и оставалось неизвестным, прав был Мерсенн или нет.

Позднее было обнаружено, что итальянец Пьетро Антонио Катальди (1548–1626), бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже для спасения своей души, занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел, найденные за сотню лет до Мерсенна:

8 589 869 056 – шестое число,

137 438 691 328 – седьмое число.

Оказалось, что оба этих числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн:

Но оставалось еще не доказанным, действительно ли эти числа являются совершенными; для этого необходимо, чтобы множители

Швейцарский математик, петербургский академик, основатель современной математики, непревзойденный вычислитель, великий Леонард Эйлер (1707–1783) сумел найти новую теорему о таинственных числах. Он доказал, что

все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом:

Ниже нас ожидает доказательство не только теоремы Евклида, но и этого утверждения Эйлера.

Эйлер выяснил, что первые три числа из указанных Мерсенном:

2 17 – 1, 2 19 – 1 и 2 31 – 1

– действительно являются простыми.

Шестое и седьмое совершенные числа, найденные Катальди, оказались верными. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано еще его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел.
Таким образом, восьмое совершенное число, которому соответствует р = 31 в формуле Евклида равно

2 305 843 008 139 952 128.

Снова в течении целого столетия это число оставалось наибольшим из совершенных чисел. Но в 1878 году француз Эдуард Люка (1842–1891) дал критерий, с помощью которого можно установить, является ли число Мерсенна 2 р – 1 простым или нет, не производя прямых вычислений. Оказалось, что далеко не все предсказания Мерсенна были верны. Он правильно предсказал значение p = 127, но числа со значениями p = 67 и p = 257, вопреки Мерсенну, не являются совершенными. Зато должны быть совершенными числа со значениями p = 61, p = 89 и p = 107, пропущенные Мерсенном.

Иван Михеевич Первушин

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нем оказалось тридцать семь значащих цифр. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин (1821–1900). Он сумел вычислить для того времени самое большое простое число вида 2 p – 1 при p = 61:

2 305 843 009 213 693 951,

и соответствующее ему совершенное число

2 305 843 009 213 693 951 · 2 60 .

Первушин, вычислив девятое совершенное число, поистине совершил настоящий подвиг. Мерсенн в свое время говорил, что вечности не хватит для проверки простоты числа, имеющего 15–20 десятичных знаков. Первушин считал без всяких вычислительных приборов, и в его числе оказалось тридцать семь цифр!

В начале двадцатого столетия появились первые механические счетные машины, что ускорило поиски новых совершенных чисел. Десятое было найдено в 1911 году, в нем оказалось 54 цифры:

618 970 019 642 137 449 562 111 · 2 88 .

Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:

162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 · 2 106 .

Двенадцатое нашли тогда же, в 1914 году, оно состоит уже из 77 цифр:

В дальнейшем успешные поиски затормозились вплоть до середины XX века, когда с появлением ЭВМ стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

В 1932 году американский математик Деррик Генри Лемер (1905–1991) решил найти тринадцатое совершенное число, а именно последнее из чисел вида 2 р – 1, где р – простое число, которое Мерсенн считал простыми, а именно число:

Ему пришлось работать целый год, пользуясь известными тогда счетными приборами, но в результате он убедился, что это число составное, и двенадцатое совершенное число оставалось наибольшим до 1952 года.

Что такое совершенные числа в математике?

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число – это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году – 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие – они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. Безусловно, это было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай – отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n – простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался древнегреческий математик Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название – числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

Спустя 250 лет русский ученый математик Первушин И. М. из Пермской губернии нашел девятое идеальное число.

С 1952 года в подобные математические изыскания подключили ЭВМ (электронно-вычислительные машины). Скорость расчетов значительно увеличилась. К примеру, стало известно, что в отличие от первого идеального числа 6, являющегося однозначным, двадцать четвертое имеет в своем арсенале больше чем 12 000 знаков!

История про шахматную доску

Есть одна очень интересная история про шахматную доску, царя и зерна. Однажды царь, будучи восхищенным от игры в шахматы, предложил создателю игры выбрать себе награду. Тогда мудрец выбрал себе скромную, казалось бы, награду – положить на клетки шахматной доски зерна. Удивил порядок раскладки: на первую клетку 1 зерно, на вторую – 2, третья клетка должна содержать 4, и так заполнить всю доску. Интересно то, что в последней 64 клетке оказалось 1 199 038 364 791, 120 тонн, что составляет 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

Это количество приблизительно в 1800 раз выше мирового урожая пшеницы, собранного за всю человеческую историю.

Если считать массу одного зернышка как 0,065 г, тогда общая масса на шахматной доске будет 1,200 триллиона тонн.

Если бы нужно было построить амбар для хранения такого количества зерна, то его размеры были бы больше горы Эверест: 10 х 10 х 15 (км), а в объемах это составило бы около 1500 км³!

Нумерология

В нумерологии существует такое понятие, как самое совершенное число 108, приносящее успех. Его корни уходят в ведическую культуру. Считается, что если проделать определенное действие ровно 108 раз, то в этом мероприятии будет достигнута определенная ступень совершенства. Такое мнение связано с устройством человеческой памяти: она разделена на кратковременную и постоянную (внутреннюю). Так вот, именно во внутреннюю память помещаются те понятия, которые человек выполнил 108 раз. Возможно, поэтому четки для молитвы в классическом исполнении содержат именно 108 бусинок. Так, после прочтения молитвы по полному кругу четок она становится частью постоянной памяти человека.

Мистика и факты

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко. Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д. Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, именно трудность нахождения таких чисел послужила поводом к наделению их мистическими свойствами. Хотя, опираясь на библейскую историю, ее исследователи сделали вывод, что мир сотворен действительно прекрасным и совершенным, ибо число дней творения – это 6. А вот человек неидеален, так как сотворен и живет в дне седьмом. Однако его задача – это стремиться к совершенству.

Интересными фактами являются следующие:

• 8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным.
• Руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами.
• Луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней.

Пифагорийцы число 6 считали психогоническим. Геометрический символ, соответствующий 6, – это гексаграмма.

При начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей (12 граней, 4 куба). В сумме получится 28. Аналогичная ситуация будет с тетраэдром, вершины которого соединены 6 ребрами. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями. В сумме это число 28.

Интересные расчеты

Итак, совершенным называется число, равное сумме делителей:

Суммируются все делители, которые меньше самого числа.

Каждое идеальное число, кроме 6, – это частичная сумма ряда, состоящего из нечетных чисел в третьей степени: 13 + 33 + 53 + … n³.

Еще одно удивительное свойство этих чисел заключается в следующем: сумма обратных значений делителей, в том числе равного самому числу, всегда будет 2. Например, возьмем 28, тогда 1/1+1/2+ 1/4+1/7+1/14+1/28 = 2.

Как было сказано выше, все числа, которые можно найти с помощью формулы Евклида, будут четные. До сей поры нам не известны нечетные идеальные числа. Безусловно, в последнее время сделан великий прорыв в науке математике и в вопросе совершенных чисел в частности. Однако проблема изучения этих математических понятий остается открытой. Если даже и предположить существование нечетного идеального числа, то оно должно будет быть больше чем 10 300 и в минимуме иметь 75 простых делителей, учитывая кратность (9 из них должны быть разными).

Также совершенно непонятно, конечно ли число совершенных чисел или все-таки ограничено?

Все четные совершенные числа равносильны сумме последовательных натуральных чисел. Другими словами, они треугольные.

Числа, которые можно записать в виде 2p – 1, называют числами Мерсенна. У каждого такого числа есть соответствующее совершенное число. То же самое можно сказать наоборот: каждому идеальному числу соответствует число Мерсенна.

Еще одним важным открытием стала связь между двоичностью и совершенством. Если внимательно посмотреть, то мы увидим связь с геометрической прогрессией.

Рядом с совершенными непременно стоит отметить дружественные числа. Это два числа, которым свойственно правило: каждое равносильно сумме делителей второго. Меньшими из них являются 220 и 284. Пифагорейцам они были знакомы. Им присвоили статус символа дружбы. Следующую пару открыли в 1636 году. Это 17 296 и 18 416. Эта дружественная пара стала нам известна благодаря французскому юристу и математику Пьеру Ферме.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.

Источники:

http://obrazovaka.ru/matematika/sovershennye-chisla-spisok.html
http://math4school.ru/sovershennie_chisla.html
http://fb.ru/article/371696/chto-takoe-sovershennyie-chisla-v-matematike